高数基础

极限

定义

极限运算

1. 有限个无穷小的和为无穷小
2. 有界函数 x 无穷小 = 无穷小

夹逼定理

重要极限

1. 

   根据夹逼定理证明

2. 

   单调函数必有界证明

无穷小比较

α和β存在极限且都是无穷小时：

常见等价无穷小：

求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替代

泰勒公式

泰勒公式的作用：用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开

其中Rn(x)表示余项，是泰勒公式与原函数之间的误差

余项的常见形式：

1. 拉格朗日余项

   给出了泰勒展开式中误差的精确表达式

   

2. 佩亚诺余项

   给出了泰勒展开式中误差的一个渐近表达式，描述了误差的一个渐近行为，而不是一个具体的数值

   

3. 区别

   • 拉格朗日余项适用于需要具体误差估计的情况，例如在数值计算中。
   • 佩亚诺余项适用于理论分析，特别是在证明某些极限或渐近性质时

常见的泰勒公式

例题

拉格朗日中值定理

向量代数与空间几何

数量积和向量积

1. 数量积（点乘、是数）

   公式：

   

   

   注意点：

   1. 数量积满足分配律和交换律
   2. 点乘为0表示a⊥b

2. 向量积（叉乘、是向量）

   公式：

   

   

   注意点：

   1. 向量积不满足交换律
   2. 叉乘为0表示a∥b
   3. 向量积方向垂直于两个向量所在平面

3. 混合积

   公式：(a x b) · c，绝对值可表示为六面体的体积

平面

1. 表示平面的方程

   1. 点法式：法向量+平面内一点

      

   2. 一般方程

      Ax + By + Cz + D = 0

      

   3. 截距式

      

2. 平面夹角

   

3. 点到平面的距离

   

直线

1. 表示直线的方程

   1. 一般方程：两个平面的交线

      

   2. 对称式：和方向向量成比例

      

   3. 参数方程

      

2. 直线夹角

   

3. 直线与平面的夹角

   注意：是直线与平面的夹角，不是直线与法线的夹角

   

平面束

通过一条直线的所有平面的集合称为平面束

曲面

常见曲面方程

1. 球面

   

2. 旋转曲面

   如一个曲线绕f(0, y, z) = 0绕z轴旋转，则到z轴的距离为 根号(x²+y²) ，方程为f(±根号(x²+y²), z)

   绕谁转谁不变

3. 单叶双曲线

   xOz面上的双曲线(x²/a² - y²/c²) = 1 绕z轴旋转得到

   

4. 双叶双曲线

   xOz面上的双曲线(x²/a² - y²/c²) = 1 绕x轴旋转得到

   

5. 柱面

   方程：x² + y² = R²，没有规定z轴，所以z轴为母线，x² + y² = R²为基准线

6. 二次曲面

   三元二次方程表示的曲面

   1. 椭圆锥面：

      

   2. 椭球面 ：

      

多元函数微分

偏导数

求偏导时将其他变量看做常数

偏导存在，不能保证函数在该点连续

全微分

全增量：各个 变量 都取得增量时 因变量 所获得的增量

全微分：全增量的近似，全增量 = 全微分 + 高阶无穷小

偏导存在是全微分的 必要不充分条件

全微分等于偏微分之和

多元复合函数求导

原函数先对复合函数求偏导，复合函数再求偏导

隐函数求导

隐函数：如F(x, f(x))的f(x)，F(x,y,f(x,y))的f(x,y)

雅可比式

在方程组的情况下用

几何应用

空间曲线

切向量：

1. 参数方程时：求导
2. y、z为关于x的方程：x=1，y、z求导
3. 两个平面的交线形式：雅可比求出y、z导数，x设为1

曲面

法向量n：

1. F(x,y,z)=0：n=(Fx, Fy, Fz)
2. z是关于x，y的方程：z移到x、y一边然后求偏导

方向导数与梯度

方向导数：自变量变化时，给定方向的变化率。方向导数是数

梯度：F(x,y)的梯度是(Fx,Fy)。梯度是向量。方向导数=梯度 x 单位向量。二元以上的函数才有梯度

梯度的方向：自变量变化的方向中，使因变量变化率最快的方向

多元函数极值

驻点：一阶偏导为0的点，不一定为极值点

极值点：在某个范围内的极大(极小)值

判断驻点是不是极值点：

偏导不存在的点也有可能是极值点，需要加以判断

条件极值：对自变量有附加条件的极值

求解方法：

1. 将条件极值化为无条件极值
2. 拉格朗日数乘法

重积分

二重积分定义

常用于算体积

二重积分估值

用于估计二重积分的值的范围

二重积分中值定义

二重积分计算

将二重积分转化为二次积分来计算

要选择合适的坐标系来计算

直角坐标

X型：x轴的积分范围为两个常数

Y型：y轴的积分范围为两个常数

极坐标

适用范围

1. 积分区域为圆、圆环、扇形
2. f(x²+y²)、f(y/x)、f(x/y)这种不好积分的函数

换元法

适用范围

1. 被积函数不好积
2. 积分区域不好表示

三重积分计算

直角坐标

计算三重积分时，可以先计算一个定积分，再计算一个二重积分

柱面坐标

球面坐标

曲线积分

对弧长的曲线积分

第一类曲线积分

可看做求一段弧的质量（描述标量场对曲线的作用 ）

计算

ds的各种表达

弧长用参数方程表达，如果是算质量，因为质量大于0下限要小于上限

扩展到三维空间

用对称性简化计算

对坐标的曲线积分

第二类曲线积分

可看做变力沿曲线做功（描述向量场对曲线的作用 ）

计算

下限不一定小于上限

二维空间

直角坐标下和三维空间下

奇偶性不要乱用，和对弧长的不一样

两类曲线积分的联系

:star:格林公式

平面闭区域上的二重积分与边界曲线的曲线积分的关系

包含奇点的例题

格林公式计算面积

曲线积分与路径无关的条件

:star:斯托克斯公式

格林公式的推广，空间曲面与便捷曲线的曲线积分的关系

斯托克斯公式的其他表达方式

空间曲线与路径无关的条件

环流量与旋度

曲面积分

对面积的曲面积分

第一类曲面积分

看做计算曲面的质量

计算

对坐标的全面积分

第二类曲面积分

看做通过曲面的流量

法向量n的指向为上侧

:star:计算

1. 化为二重积分：1投2代3定符号

   

2. 化为第一类曲面积分

   

3. 更换投影坐标面

   

4. 高斯公式

   

:star:高斯公式

沿闭曲面积分为零的条件

通量和散度